霍奇猜想的新思路
大概是在年初那会儿，陆舟还没有将陈阳从燕大数学中心挖来的时候，这位陈教授便在研究霍奇猜想了。
陆舟还记得，当时他在黑板上研究自己的超椭圆曲线分析法，并且用了一种非常巧妙的方法，将这个原本为准黎曼猜想设计的数学工具，改进之后直接运用在了对非奇异复代数簇的代数拓扑，以及其定义子簇的多项式方程所表述的几何关联问题的研究上。
当初也正是因为这一手漂亮的操作，让陆舟不禁动了爱才之心，将他从燕大数学中心挖到了金陵这边来。
现在已经过去快一年了，关于霍奇猜想的课题仍然没有丝毫的进展，再加上前段时间一直在忙代数几何统一理论的事情，以至于陆舟都快把这件事给忘了。
“走，去我办公室说。”
带着陈阳来到了自己的办公室，陆舟亲自去墙角帮他拖来了一张白板，并且将自己的记号笔递到了他的手上。
没有将时间浪费在客套上，接过了笔之后，站在白板前的陈阳思索了片刻，首先在白板上随手画了个圆，然后在旁边标记了s，并写下了一行表达式。
“……对于紧致无边的曲面s，其gauss曲率k可以在整个曲面上进行积分。”
一边写着，陈阳一边继续说道。
“众所周知的是，一个曲面不一定只容有一个度量，所以我尝试对s的度量进行了更换。在更换了度量之后，相应的gauss曲率k同样也会发生改变，但积分值却与曲面的度量无关，而只与曲面的euler示性数x(s)有关，利用这一性质，我们可以——”
看着白板上的算式，陆舟眉毛轻轻抬了下，饶有兴趣地说道。
“gauss-bonnet公式？”
手中的笔停住，陈阳点了下头说道。
“正是。”
说罢，他将gauss-bonnet公式写了上去。
看到这画龙点睛的一笔，陆舟的脸上感兴趣的神色愈发浓烈了。
事实上，他大概已经猜到，陈阳是打算干什么了。
根据高维黎曼流形m的性质，gauss曲率可以推广为截面曲率，它的值可以由黎曼曲率的张量决定。至于其被积函数，则是由曲率张量组成的很复杂的代数式——即gauss-bonnet被积函数。
至于其在整个流形上的积分，则是由这个流形的euler示性数x(m)所决定。
利用这些性质，便能够将hodge理论推广到完备非紧流形中。
这些深刻的数学意义，是由陈省身教授得到的，也就是著名的gauss–bonnet–陈公式中的数学内涵。
再结合阿提亚爵士的l2上同调方法，沿着这条思路继续走下去，搞不好还真能把这个猜想给证出来。
当然，具体该如何证明，还需要深入研究一下就是了。
想到这里，陆舟赞许地点头。
秒啊。
实在是妙。
不知何时，陈阳的背后已经站了一圈人。
早在他刚刚开始板书的时候，办公室里的人便注意到了这边。
盯着白板上的算式，季默两眼发光，激动的小声说道：“这，难道就是传说中的——”
见自己师弟说话又只说了一半，何昌文皱了下眉头，低声道：“到底是啥，别卖关子。”
季默奇怪地看了他一眼。
“霍奇猜想啊！很明显嘛。”
何昌文：“……”
这特么哪里明显了？！
不过仔细一看，好像确实是这样。
想到这里，何昌文不禁在心中安慰了自己一句。
嗯，如果认真看的话，他应该也是能看出来的。
白板上的笔停下了，陈阳陷入了沉思。
显然，这条思路他只走到了一半，后面该怎么走还没有很好的想法。
不知何时来的办公室，站在旁边一直沉默不语的佩雷尔曼教授，忽然开口说道。
“这条思路看起来有点意思。”
回头看向了佩雷尔曼教授，陈阳微微愣了下，有些意外地说道。
“您是什么时候过来的？”
“大概在你写到一半的时候……本来我是来找陆教授的，没想到在这里还有意外收获，”停顿了一下，佩雷尔曼继续说，“……可以给我用下笔吗？”
没有任何的犹豫，陈阳果断将手中的记号笔让了出来。
从陈教授的手中接过了笔，站在白板前的佩雷尔曼沉思了片刻，随后在他的算式下面空了几行，继续写了起来。
“既然有现成的代数几何统一理论可以运用，式（3）的证明我就省略了。”
“……我的建议是，对于之后部分的证明，我们可以将紧流形m问题提升到它的通用复盖流形上，得到完备非紧流形m。”
“根据阿提亚的定理，如果我们能在截面曲率的条件下证明除了中间的l2同调群其余都为零……”
说着，他手中的笔轻轻抖了一下，很快写下了一行简洁而优美的算式。
【h^n(m)6≠{0}，且当q≠n时，h^q(m)={0}】
看到这行算式的瞬间，陈阳的瞳孔微微收缩。
脸上的表情瞬间浮现了一丝明悟，他压抑着激动的语气说道。
“……我们就能得到霍奇猜想的证明！”
那么问题来了。
该如何证明，在截面曲率的条件下，除了中间的l2同调群其余都为零？
对话到这里忽然戛然而止了。
短暂的兴奋之后，两人不约而同地陷入了沉默。
最后，又不约而同地看向了陆舟。
注意到两人看向自己，从头到尾一句话都没说的陆舟忽然眨了眨眼，笑着说道。
“我觉得你们的想法都不错……虽然我没仔细研究过这个课题，但直觉告诉我照着这条路走下去，八成是能够有所收获的。”
顿了顿，他继续说道。
“这个思路非常有意思，我的建议是，你们不如一起研究这个课题好了。”
总感觉陆舟似乎看出来了些什么，却又没有把话说明白。
佩雷尔曼皱了下眉头，迟疑问道。
“你不参与吗？这可是个很有意思的难题。”
何止是有意思。
霍奇猜想可以说是现代数学发展中抽象特征的集中体现，研究的是数学三大分支——分析、拓扑、代数几何之间的内在联系。
至于难度，作为千禧难题的它，自然是毋庸置疑的。
令佩雷尔曼诧异的是，陆舟居然没有表现出很强烈的兴趣。
陆舟：“……虽然我很感兴趣，但imcrc那边还有一堆事情等着我去处理，恐怕最近我都没有更多的时间，能够分配到数学这边了。”
听到这个消息，佩雷尔曼脸上露出了遗憾的表情。
“那实在是太遗憾了。”
“虽然我恐怕抽不出时间帮忙，但我郑重的向你推荐陈教授，”拍了拍陈阳的肩膀，陆舟笑着说道，“他是一位优秀的学者，关于他的能力，相信你也是了解的，我就不多吹牛了。总之，你们合作的话，我相信一定能够解决这个问题。”
虽然对这种绝对的说法表示怀疑，但看了一眼陈教授，佩雷尔曼也没有说什么，只是点了下头，看样子是认可了这位合作伙伴。
两人都是那种话不多的类型，也没有太多的交流。
陆舟清了清嗓子之后，看着佩雷尔曼继续说道。
“说起来，你继续留在这边没问题吗？代数与几何的统一理论已经完成了。”
“没有问题，”佩雷尔曼摇了摇头，“我和母亲已经打过电话了，她让我去做自己想做的事情，不用太在意她那边。我确实还有想做的事情没有完成，我打算在这里……再待一段时间，把霍奇猜想解决了再回去。”
虽然很意外佩雷尔曼教授居然会选择留下来，但这种好事陆舟自然是不会拒绝，当即笑着说道。
“那你还是住在原来那个公寓吧，我会帮你申请延长公寓的使用时间。”
佩雷尔曼点了点头，感谢道。
“麻烦你了。”
陆舟还记得，当时他在黑板上研究自己的超椭圆曲线分析法，并且用了一种非常巧妙的方法，将这个原本为准黎曼猜想设计的数学工具，改进之后直接运用在了对非奇异复代数簇的代数拓扑，以及其定义子簇的多项式方程所表述的几何关联问题的研究上。
当初也正是因为这一手漂亮的操作，让陆舟不禁动了爱才之心，将他从燕大数学中心挖到了金陵这边来。
现在已经过去快一年了，关于霍奇猜想的课题仍然没有丝毫的进展，再加上前段时间一直在忙代数几何统一理论的事情，以至于陆舟都快把这件事给忘了。
“走，去我办公室说。”
带着陈阳来到了自己的办公室，陆舟亲自去墙角帮他拖来了一张白板，并且将自己的记号笔递到了他的手上。
没有将时间浪费在客套上，接过了笔之后，站在白板前的陈阳思索了片刻，首先在白板上随手画了个圆，然后在旁边标记了s，并写下了一行表达式。
“……对于紧致无边的曲面s，其gauss曲率k可以在整个曲面上进行积分。”
一边写着，陈阳一边继续说道。
“众所周知的是，一个曲面不一定只容有一个度量，所以我尝试对s的度量进行了更换。在更换了度量之后，相应的gauss曲率k同样也会发生改变，但积分值却与曲面的度量无关，而只与曲面的euler示性数x(s)有关，利用这一性质，我们可以——”
看着白板上的算式，陆舟眉毛轻轻抬了下，饶有兴趣地说道。
“gauss-bonnet公式？”
手中的笔停住，陈阳点了下头说道。
“正是。”
说罢，他将gauss-bonnet公式写了上去。
看到这画龙点睛的一笔，陆舟的脸上感兴趣的神色愈发浓烈了。
事实上，他大概已经猜到，陈阳是打算干什么了。
根据高维黎曼流形m的性质，gauss曲率可以推广为截面曲率，它的值可以由黎曼曲率的张量决定。至于其被积函数，则是由曲率张量组成的很复杂的代数式——即gauss-bonnet被积函数。
至于其在整个流形上的积分，则是由这个流形的euler示性数x(m)所决定。
利用这些性质，便能够将hodge理论推广到完备非紧流形中。
这些深刻的数学意义，是由陈省身教授得到的，也就是著名的gauss–bonnet–陈公式中的数学内涵。
再结合阿提亚爵士的l2上同调方法，沿着这条思路继续走下去，搞不好还真能把这个猜想给证出来。
当然，具体该如何证明，还需要深入研究一下就是了。
想到这里，陆舟赞许地点头。
秒啊。
实在是妙。
不知何时，陈阳的背后已经站了一圈人。
早在他刚刚开始板书的时候，办公室里的人便注意到了这边。
盯着白板上的算式，季默两眼发光，激动的小声说道：“这，难道就是传说中的——”
见自己师弟说话又只说了一半，何昌文皱了下眉头，低声道：“到底是啥，别卖关子。”
季默奇怪地看了他一眼。
“霍奇猜想啊！很明显嘛。”
何昌文：“……”
这特么哪里明显了？！
不过仔细一看，好像确实是这样。
想到这里，何昌文不禁在心中安慰了自己一句。
嗯，如果认真看的话，他应该也是能看出来的。
白板上的笔停下了，陈阳陷入了沉思。
显然，这条思路他只走到了一半，后面该怎么走还没有很好的想法。
不知何时来的办公室，站在旁边一直沉默不语的佩雷尔曼教授，忽然开口说道。
“这条思路看起来有点意思。”
回头看向了佩雷尔曼教授，陈阳微微愣了下，有些意外地说道。
“您是什么时候过来的？”
“大概在你写到一半的时候……本来我是来找陆教授的，没想到在这里还有意外收获，”停顿了一下，佩雷尔曼继续说，“……可以给我用下笔吗？”
没有任何的犹豫，陈阳果断将手中的记号笔让了出来。
从陈教授的手中接过了笔，站在白板前的佩雷尔曼沉思了片刻，随后在他的算式下面空了几行，继续写了起来。
“既然有现成的代数几何统一理论可以运用，式（3）的证明我就省略了。”
“……我的建议是，对于之后部分的证明，我们可以将紧流形m问题提升到它的通用复盖流形上，得到完备非紧流形m。”
“根据阿提亚的定理，如果我们能在截面曲率的条件下证明除了中间的l2同调群其余都为零……”
说着，他手中的笔轻轻抖了一下，很快写下了一行简洁而优美的算式。
【h^n(m)6≠{0}，且当q≠n时，h^q(m)={0}】
看到这行算式的瞬间，陈阳的瞳孔微微收缩。
脸上的表情瞬间浮现了一丝明悟，他压抑着激动的语气说道。
“……我们就能得到霍奇猜想的证明！”
那么问题来了。
该如何证明，在截面曲率的条件下，除了中间的l2同调群其余都为零？
对话到这里忽然戛然而止了。
短暂的兴奋之后，两人不约而同地陷入了沉默。
最后，又不约而同地看向了陆舟。
注意到两人看向自己，从头到尾一句话都没说的陆舟忽然眨了眨眼，笑着说道。
“我觉得你们的想法都不错……虽然我没仔细研究过这个课题，但直觉告诉我照着这条路走下去，八成是能够有所收获的。”
顿了顿，他继续说道。
“这个思路非常有意思，我的建议是，你们不如一起研究这个课题好了。”
总感觉陆舟似乎看出来了些什么，却又没有把话说明白。
佩雷尔曼皱了下眉头，迟疑问道。
“你不参与吗？这可是个很有意思的难题。”
何止是有意思。
霍奇猜想可以说是现代数学发展中抽象特征的集中体现，研究的是数学三大分支——分析、拓扑、代数几何之间的内在联系。
至于难度，作为千禧难题的它，自然是毋庸置疑的。
令佩雷尔曼诧异的是，陆舟居然没有表现出很强烈的兴趣。
陆舟：“……虽然我很感兴趣，但imcrc那边还有一堆事情等着我去处理，恐怕最近我都没有更多的时间，能够分配到数学这边了。”
听到这个消息，佩雷尔曼脸上露出了遗憾的表情。
“那实在是太遗憾了。”
“虽然我恐怕抽不出时间帮忙，但我郑重的向你推荐陈教授，”拍了拍陈阳的肩膀，陆舟笑着说道，“他是一位优秀的学者，关于他的能力，相信你也是了解的，我就不多吹牛了。总之，你们合作的话，我相信一定能够解决这个问题。”
虽然对这种绝对的说法表示怀疑，但看了一眼陈教授，佩雷尔曼也没有说什么，只是点了下头，看样子是认可了这位合作伙伴。
两人都是那种话不多的类型，也没有太多的交流。
陆舟清了清嗓子之后，看着佩雷尔曼继续说道。
“说起来，你继续留在这边没问题吗？代数与几何的统一理论已经完成了。”
“没有问题，”佩雷尔曼摇了摇头，“我和母亲已经打过电话了，她让我去做自己想做的事情，不用太在意她那边。我确实还有想做的事情没有完成，我打算在这里……再待一段时间，把霍奇猜想解决了再回去。”
虽然很意外佩雷尔曼教授居然会选择留下来，但这种好事陆舟自然是不会拒绝，当即笑着说道。
“那你还是住在原来那个公寓吧，我会帮你申请延长公寓的使用时间。”
佩雷尔曼点了点头，感谢道。
“麻烦你了。”